5-3. ГРАФО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ СПОСОБЫ РАСЧЕТА СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ ПЛОСКИХ ФЕРМ
Вместо графического расчета (например, путем построения диаграммы Максвелла — Кремоны) применяются также комбинированные способы; из них наибольшее распространение получил способ, при котором дополнительные построения на чертеже фермы используются только для измерений геометрических величин, входящих в уравнения статического равновесия. Усилия в стержнях фермы определяются расчетом при решении уравнений статики. Выполненный таким путем расчет является,
по существу, графо-аналитическим. В качестве уравнения равновесия используется главным образом уравнение моментов, но в некоторых случаях оказывается удобнее воспользоваться уравнениями равновесия в проекциях сил на координатные оси. Поэтому в дальнейшем по мере необходимости будем применять различные уравнения равновесия из следующей системы:
(5-4)
В основу графо-аналитического расчета фермы по способу моментной точки положен известный из статики сооружений метод сечений.
Если ферма находится в равновесии под действием приложенных к ней внешних сил и опорных реакций, то и любой узел или часть фермы также находится в равновесии под действием нагрузок и реакций со стороны соседних частей.
Условия равновесия любой части фермы можно определить, отсекая мысленно эту часть от фермы и заменяя действие со стороны соседних частей неизвестными пока внутренними усилиями, направленными вдоль стержней в месте рассечения.
Направление каждого неизвестного усилия принимается таким, чтобы оно вызывало растяжение стержня, т. е. было положительным. Действительное направление усилия определяется после решения уравнений статики по знаку усилия (плюс или минус), полученному в результате решения, при этом знак плюс показывает, что направление усилия выбрано правильно, а знак минус, что принятое направление усилия следует изменить на обратное.
Линию разреза проводят так, чтобы она пересекала не более трех стержней. Тогда получаются три неизвестных усилия, которые определяются решением трех уравнений статики.
Для отсеченной части, фермы составляют уравнения равновесия моментов всех приложенных к ней внешних сил, включая неизвестные усилия. При этом моментную точку нужно выбрать так, чтобы линии действия двух из неизвестных усилий проходили через эту точку. Тогда эти два усилия автоматически исключаются из уравнения моментов, которое будет только с одним неизвестным.
Выбирая различные моментные точки, можно составить три уравнения моментов, каждое из которых будет содержать по одному неизвестному. Этот способ исключения двух неизвестных при составлении уравнений статики в форме уравнения моментов известен также под названием способа Риттера [45].
На рис. 5-4 показан пример графо-аналитического расчета усилий в стержнях фермы с треугольной решеткой и наклонными поясами, на которую действует одна горизонтальная сила Р. Рассекаем ферму по линии а—а и заменяем действие отсеченной нижней части усилиями U4, U5 и D4 (рис. 5-4, б) в разрезанных стержнях.
Отсеченная верхняя часть фермы должна находиться в равновесии под действием заданной силы Р и неизвестных пока усилий, которые теперь играют роль внешних сил, U4, U5 и D4, следовательно, к этой части применимы уравнения (5-4). Для определения усилия в раскосе D4 составим уравнение моментов, причем за моментную точку примем точку схода поясов; в этом случае моменты усилий U4 и U5 будут равны нулю.
Рис. 5-4. К расчету фермы методом сечений
Знак минус в последней формуле показывает, что направление усилия U5 в рассматриваемой панели правого пояса будет противоположным указанному на рисунке, т. е. стержень оказывается сжатым. Таким же способом определяются усилия
Усилия в поясах определяются по формуле (5-6). Во всех рассмотренных случаях линия действия внешней горизонтальной силы Р проходила через узел фермы, расположенный выше расчетного сечения.
Если линия действия силы Р проходит через какой-нибудь средний узел фермы, то усилия в стержнях, расположенных выше этого узла, будут равны нулю.
Структура формул не меняется и в тех случаях, когда на ферму с наклонными поясами действует система k внешних горизонтальных сил. В этом случае входящие в полученные ранее формулы моменты одной силы Р, т. е. моменты Ра и Ph заменяются соответственно алгебраическими суммами моментов
, что равносильно сложению усилий, возникающих от каждой из отдельно приложенных сил.
При расчете ферм с параллельными поясами в числитель формул (5-7) и (5-9) вводится значение алгебраической суммы сил, лежащих выше рассматриваемого узла или сечения, т. е. значение перерезывающей силы.
Формулы применимы также для случая действия в плоскости чертежа вертикальной силы, приложенной к ферме с некоторым эксцентриситетом по отношению к оси симметрии. Моментные точки принимаются те же, но соответственно меняются плечи моментов.
5-4. АНАЛИТИЧЕСКИЙ СПОСОБ РАСЧЕТА СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ ПЛОСКИХ ФЕРМ МЕТОДОМ ВЫРЕЗАНИЯ УЗЛОВ
В ферме, находящейся в равновесии под действием внешних сил и реакций связей, каждый узел также находится в равновесии.
Метод определения усилий заключается в том, что для каждого узла, вырезанного из фермы, составляются два уравнения равновесия в проекциях всех сил, сходящихся в узле, на координатные оси. Третье уравнение статики ΣМ=0 для сил, сходящихся в одной точке, не применимо, так как оно обращается (как легко убедиться) для любой моментной точки на плоскости в тождество 0 = 0. Итак, для каждого узла могут быть записаны следующие два уравнения:
Для неизменяемой статически определимой фермы, имеющей У узлов, можем составить 2У уравнений. В такой ферме вместе с неизвестными реакциями опоры количество неизвестных
r= С + 3 = 2У—3 + 3 = 2У,
т. е. количество неизвестных равно количеству уравнений, и, следовательно, задача полностью решается методами статики.
Для составления уравнений равновесия все усилия, сходящиеся в узле, предполагаются направленными от узла.
Если в результате решения уравнений какие-либо усилия получаются отрицательными, то это значит, что в действительности эти усилия имеют направление, противоположное принятому, т. е. направлены к узлу.
Выбирая узлы, в которых сходятся только два стержня, и пользуясь двумя уравнениями проекций сил на координатные оси, находим усилия в этих двух стержнях. Составляя затем последовательно уравнения для смежных узлов и решая их, находим усилия во всех остальных стержнях и опорные реакции фермы.
Таким образом, для определения усилий в стержнях фермы, например изображенной на рис. 5-3, потребуется решить 8 пар уравнений, причем начать решение можно с узла IV или VIII. Предварительно перед составлением уравнений следует вычислить таблицу косинусов углов, составляемых стержнями с осями координат. В этом случае уравнения равновесия (5-2) примут вид:
(5-10)
где Рх и Ру — проекции на координатные оси равнодействующей внешних сил, приложенной к узлу; Si — усилия в стержнях, которые сходятся в узле.
Указанный способ в некоторых случаях удобен для получения общих выражений усилий, а также для анализа работы конструкций. Что касается вычисления усилий, то для ферм, образующих грани опор, он практически не применяется, особенно если точка схода поясов таких ферм близка к точке приложения нагрузки. В этом случае при определении неизвестных в уравнениях получается разность столь близких величин, что обычными средствами вычисления или не могут быть сделаны или дают результаты с погрешностью в десятки процентов.
В следующем параграфе дан общий аналитический способ вычисления усилий, с помощью которого для ферм, образующих грани пространственных стержневых систем башенного типа, получены универсальные формулы, удобные как для проверочных, так и для систематических расчетов опор.
