5-7. СПЕЦИАЛЬНЫЕ СЛУЧАИ РАСЧЕТА МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ОПОР
1. Расчет ферм, составляющих грани опор и имеющих лишние стержни.
Все изложенное в предыдущих параграфах относилось к расчету неизменяемых, внутренне статически определимых ферм. Необходимым условием такой статической определимости фермы, как известно, является соотношение между количеством стержней и количеством узлов С=2У—3. По конструктивным соображениям в решетку опор линий электропередачи часто приходится включать дополнительные стержни, расположенные перпендикулярно к оси фермы, являющиеся лишними и нарушающие указанное соотношение.
Такими лишними стержнями являются стержни обвязки диафрагм, обычно называемые распорками, а также элементы крепления траверс к стволу. В раскосной и полураскосной решетках такие стержни не требуются, их могут заменить горизонтальные элементы, имеющиеся в решетках этих систем.
В ферме с треугольной решеткой каждая добавленная рас: порка, проходящая через узел, делит противоположную панель пояса на две части и тем самым добавляет один узел и один стержень (рис. 5-23, а). Таким образом, в этом случае условие статической определимости сохраняется, так как в ферме с k добавленными распорками число узлов увеличивается также на k, а число стержней на 2k. Количество стержней становится равным: 2У—3 + 2k=2(У+k)—3, что при новом количестве узлов У'= У+k соответствует условию статической определимости.
Рис. 5-23. Возможное расположение лишних стержней в решетках граней
В перекрестной решетке распорки могут проходить через узел пересечения раскосов; при этом условие статической определимости фермы, как и в предыдущем случае, сохраняется, так как с добавлением каждой такой распорки образуются два новых узла и четыре новых стержня (рис. 5-23, б). Если же распорка проходит через два противоположных узла (рис. 5-23, в), то ее включение не приводит к образованию новых узлов и стержней и она становится лишним стержнем, повышая статическую неопределимость фермы на столько единиц, сколько таких распорок имеет ферма.
Рис. 5-24. К расчету плоской фермы с двумя лишними стержнями лающие фермы статически
Могут быть и другие случаи, при которых в силу ряда конструктивных требований в решетку ферм, составляющих грани опор, приходится вводить лишние стержни. Расчет их производится методом сил.
Применение метода сил, основанного на учете перемещений системы в направлении отброшенных лишних связей, покажем на примере расчета статически неопределимой фермы с двумя лишними стержнями (рис. 5-24.а).
Пользуясь методом сил, покажем, что при действии горизонтальной нагрузки стержни, соединяющие противоположные узлы на поясах в ромбической (перекрестной) решетке, являются нулевыми, и в этом случае их можно отбрасывать при расчете опоры.
Рис. 5-25. К определению усилия в лишнем стержне
Допустим, что в ферме с перекрестной решеткой, нагруженной силой Р, имеется один лишний горизонтальный стержень (рис. 5-25, а). В соответствии с изложенной выше последовательностью расчета основную статически определимую систему фермы, нагруженную силой Р (рис. 5-25, б), получаем путем разрезания лишнего стержня аа, а единичное состояние X1=l путем приложения в узлах а двух горизонтальных сил Χ1=1 (рис. 5-25, в).
Неизвестное усилие X1 найдем из канонического уравнения:
Рассматривая усилия S, вызываемые силой Р, замечаем, что в стержнях фермы получается так называемое кососимметричное распределение усилий, т. е. каждому усилию в одной половине фермы соответствует равное по величине, но противоположное по знаку усилие во второй половине фермы. В то же время силы X1, приложенные в узлах, вызывают в стержнях фермы симметричное распределение усилий. Сумма произведений усилий SрS1 в формуле (5-48) в этом случае будет равна нулю, следовательно, Δ1ρ=0 и усилие X1=0. Если консольная ферма с любой симметричной решеткой, образующая грани опоры, имеет k лишних стержней, то при действии на эту ферму горизонтальных нагрузок « силу рассмотренных особенностей распределения усилий в системе уравнений (5-48) все перемещения ∆kP будут равны нулю. Так как при этом определитель системы
уравнений
то все неизвестные Xi=0.
Следовательно, поперечные лишние связи между узлами симметричных ферм, находящихся под действием горизонтальных нагрузок, являются нулевыми стержнями и при расчете фермы могут быть заранее отброшены. Следует иметь в виду, что этот вывод справедлив при равномерном распределении горизонтальных реакций между опорными узлами фермы. Если это распределение принимается другим, то во всех лишних стержнях возникают усилия, определять которые следует, пользуясь системой уравнений (5-47).
До сих пор рассматривался расчет пространственных ферм, образующих ствол опоры, под действием поперечных сил, изгибающих и крутящих моментов. Но на опоры, как известно, действуют и вертикальные нагрузки, которые также вызывают усилия в стержнях ферм. Если опора гибкая, то вертикальные нагрузки (см. § 4-1) вызывают не только сжатие, но и изгиб вследствие прогиба опоры. Если опора жесткая, то эти моменты невелики и можно считать, что вертикальные нагрузки вызывают лишь сжатие ствола опоры.
Рассмотрим действие вертикальных сжимающих нагрузок на решетчатую ферму, образующую грань опоры. У фермы с параллельными поясами (рис. 5-26, а) вертикальные нагрузки вызывают лишь сжатие поясов. Если пояса фермы наклонены, то рертикальные нагрузки вызывают также усилия и в решетке фермы. В частности, рассматривая элементарный пример, представленный на рис. 5-26, б, легко убедиться, что усилия возникают не только в поясах, но и в распорках. Величины усилии в поперечных элементах решетки пропорциональны синусу угла наклона поясов к вертикали и, следовательно, при малых углах γ, обычно применяемых в опорах линий электропередачи, незначительны.
Усилие в поясе при малых углах
незначительно отличается от величины G. По указанным причинам при наклонах поясов к вертикали не более чем на 10—12° вертикальные силы при расчетах опор считаются действующими вдоль поясов и влияние их на решетку не учитывается.
Следует отметить также (обстоятельство, характерное для опор линий электропередачи), что основные усилия в поясах обусловлены изгибающими моментами при действии горизонтальных сил и усилия от вертикальных нагрузок в поясах нормальных опор незначительны.
Однако в ряде специальных случаев вертикальные нагрузки могут иметь и большое значение и их влияние следует учитывать (например, для переходных опор большой высоты и с большими наклонами поясов в нижней части).
Расчет усилий от вертикальных сил. в стержнях консольных ферм, образующих грани опоры, производится с помощью общих методов, указанных выше.
2. Расчет нижней части широкобазных опор как пространственной системы.
Сварные опоры башенного типа делаются обычно со стволом относительно небольших поперечных размеров, составляющих от 1/6 до 1/12 высоты. Для опор нормальной высоты эти размеры выбираются так, чтобы поперечные размеры свариваемых на заводе секций ствола не выходили за пределы железнодорожного габарита; ствол имеет при этом незначительный наклон поясов к вертикали.
Очень часто ствол опоры делают с уширением нижней части. Этим достигается увеличение расстояния между точками опирания ствола на фундаменты, т. е. базы ствола, а следовательно, уменьшение вертикальных опорных реакций и облегчение выполнения сборных фундаментов. Конструктивно такое уширение осуществляется путем выполнения нижней секции со значительно большим наклоном поясов (примерно в три-пять раз), чем в верхних секциях. Все конструкции опор линий электропередачи рассчитываются путем разложения их на плоские фермы. При этом чем больше наклон граней, тем меньше оснований для такого расчета. По существу нижние секции широкобазных опор с большим наклоном поясов следует рассчитывать как пространственные конструкции. При применении легких сборных фундаментов, допускающих значительные перемещения опорных точек, и при отсутствии связей между опорными узлами в гранях нижней части опоры возникают дополнительные усилия. Эти усилия являются следствием горизонтальной податливости опорных точек в направлении, нормальном к плоскости действия нагрузок, и никак не могут быть учтены расчетом плоских граней. Ввиду большого распространения как широкобазных опор, так и сборных фундаментов для них расчет их нижней части как пространственной системы представляет практический интерес.
Для переходных высоких опор с широкобазными нижними секциями определение усилий в стержнях нижней части путем разложения ее на плоские фермы вообще не может считаться
Рис. 5-27. Схема необходимых и достаточных связей закрепления пространственной конструкции
правильным, они должны рассчитываться обязательно как пространственные системы. Ниже предлагается систематизированная методика расчета нижней части широкобазных опор.
Приведем некоторые основные сведения из статики пространственных систем; которые понадобятся для расчета. Если основой неизменяемой плоской фермы является треугольник, то для пространственной конструкции основным элементом является четырехгранник (тэтраэдр). Действительно, соединив первые три узла, получим плоский треугольник, четвертый узел, не лежащий в плоскости треугольника, может быть присоединен тремя стержнями, в результате чего образуется четырехгранник, являющийся простейшим неизменяемым пространственным элементом. Все дальнейшие узлы могут быть присоединены к этому элементу, каждый тремя стержнями. Таким образом, для соединения первых трех узлов требуется три стержня. Для присоединения каждого из последующих У—3 узлов потребуется также три стержня, следовательно, для образования простейшей пространственной системы нужно 3+3(У—3)=3У— 6 стержней.
Такая простейшая пространственная система является неизменяемой; покажем, что все усилия в ней могут быть определены методами статики.
Предварительно напомним, что для закрепления тела в пространстве, в том числе и пространственной стержневой конструкции, необходимо и достаточно иметь шесть связей, реакции которых определяются шестью уравнениями статики:
(5-49)
Пространственная конструкция может быть закреплена минимум в трех точках — узлах, из которых первый закрепляется неподвижно тремя связями, второй — двумя связями и третий — одной связью. Пример закрепления пространственной конструкции необходимым и достаточным количеством связей, обеспечивающих жесткое соединение с фундаментами, дан на рис. 5-27.
Система с количеством узлов 3У—6 и с шестью необходимыми опорными связями будет иметь 3У—6+6=3У неизвестных. Так как для каждого из У пространственных узлов можно составить три уравнения равновесия сил, сходящихся
в этом узле, то для системы можно составить всего 3У уравнений. При этом число уравнений будет равно числу неизвестных и, следовательно, усилия во всех стержнях и реакции опор могут быть определены из уравнений статики.
На рис. 5-28, а изображена симметричная относительно вертикальной оси пространственная система нижней части широкобазной опоры. Эта система не является простейшей, она состоит из четырех четырехгранников ног, жестко связанных друг с другом шестью стержнями. Система неизменяемая и внутренне статически определимая, так как удовлетворяет условию С=3У—6. Действительно, система имеет 12 узлов и 30 стержней, следовательно, так как 3х12—6 = 30, то условие неизменяемости и статической определимости соблюдено.
Опорные узлы 1, 2, 3 и 4 нижней части жестко закреплены на фундаментах, что соответствует трем связям в каждой опорной точке. Таким образом, система имеет 3х4=12 связей и является шесть раз статически неопределимой в отношении опорных реакций. Решение этой статически неопределимой системы непосредственно методом сил вряд ли целесообразно вследствие неопределенности характеристик опорных реакций в различных случаях. Применим для расчета несколько искусственный, но приводящий к конечной цели метод раздельного учета действующих нагрузок: а) горизонтальной поперечной силы Р, действующей в плоскости симметрии конструкции; б) изгибающей пары сил с моментом М, действующей в плоскости симметрии конструкции; в) вертикальной силы V, действующей по оси симметрии; г) крутящего момента Мk действующего в горизонтальной плоскости; д) единичных сил Х=1, приложенных к опорным узлам.
Рис. 5-29. Расчетная схема нижней части опоры под действием горизонтальной силы Р
Последняя схема загружения единичными силами необходима для определения величины распора между опорными точками при жестком или упругом закреплении их.
Аналитические формулы усилий, приводимые ниже, выражены через нагрузки и геометрические размеры нижней части, причем углы, функции которых входят в формулы, являются углами проекций действительных углов на плоскость чертежа, т. е. это те углы, которые обычно задаются при рассмотрении плоской задачи (рис. 5-28, б). Как оказывается, введение этих углов значительно упрощает формулы, получающиеся весьма сложными при использовании действительных углов, которые составляют стержни с осями координат.
Определение усилий при действии горизонтальной силы в плоскости симметрии опоры. Схема нижней части опоры с нагрузками для этого случая приведена на рис. 5-29.
Нагрузки на конструкцию представлены двумя парами вертикальных сил A2 и четырьмя горизонтальными силами Н3, которые являются реакциями верхней отсеченной части опоры и приложены к узлам 5, 6, 7 и 8, где эта часть опоры примыкает к рассматриваемой конструкции. Эти силы приняты одинаковыми вследствие симметрии верхней части опоры:
(5-50)
Будем предполагать, что при действии этих нагрузок все четыре ноги конструкции опираются на фундаменты через опоры с цилиндрическими катками, расположенными параллельно линии действия силы Р. Каждая такая опора равносильна двум связям. Таким образом, в данном случае имеем восемь опорных связей и дважды внешне статически неопределимую систему, причем неопределимость относится к распределению горизонтальных реакций между парами узлов 1—3 и 2—4. Это распределение зависит от податливости сжатых и вырываемых фундаментов, и точно определить его практически не представляется возможным.
Зададим распределение реакций некоторыми коэффициентами, положив
(5-51)
где ξ и ν — коэффициенты распределения горизонтальных реакций фундаментов. Условие (5-51) уменьшает число неизвестных реакций до шести, т. е. приводит систему к статически определимой. В силу симметрии количество неизвестных реакций снижается до трех. Эти реакции определяются из уравнений:
После этого можно рассчитывать усилия во всех стержнях конструкции, последовательно вырезая узлы, начиная с опорных, и составляя для каждого из них систему трех уравнений равновесия в пространстве. Наклоны всех стержней к трем координатным осям определяются направляющими косинусами, выраженными через тригонометрические функции исходных углов γ и β, которые при расчете определяются по чертежу проекции грани на вертикальную плоскость.
Направляющие косинусы углов для стержней конструкции, представленной на рис. 5-28 даны в табл. 5-1.
Таблица 5-1
Направляющие косинусы углов
В результате решения системы уравнений получим следующие формулы для определения усилий в стержнях пространственной конструкции нижней части опоры при действии горизонтальной силы, расположенной в плоскости симметрии конструкции. Направление усилий в стержнях указано на расчетных эскизах и связано с направлением действующих нагрузок. Если при вычислении по приведенным ниже формулам знак усилия оказывается отрицательным, это значит, что в действительности данное усилие направлено в сторону, противоположную указанному.
Усилия в поясах:
Усилия в раскосах Д и В по-прежнему вычисляются по формуле (5-55), усилия в распорках Г равны нулю.
Определение усилий при действии вертикальной силы V. При действии вертикальных сил в данной конструкции, кроме поясов, значительно нагружается и решетка. В рассматриваемом случае будем предполагать, что конструкция установлена на плоско подвижные шаровые опоры, эквивалентные одному вертикальному стержню, т. е. одной связи, и, следовательно, не воспринимающие горизонтальных сил (рис. 5-30). Так как вертикальная нагрузка приложена по оси симметрии конструкции (в противном случае она могла бы быть заменена изгибающей
При сделанных оговорках вертикальные реакции равны нулю, т. е. Л=0, благодаря чему каждая из сил Т вызывает усилия только в стержнях своей грани. Распределение горизонтальных реакций между опорными точками при чистом кручении нужно принимать равномерным.
Так как при принятых для расчета опор сочетаниях нагрузок нижняя секция находится под одновременным воздействием изгибающей и крутящей пар и перерезывающей силы, то при расчете нужно учесть неравномерность распределения горизонтальных реакций от сил Т, направленных параллельно плоскости действия перерезывающей силы; при этом так же, как и для силы Р, распределение будет определяться выражением:
Схема опорных закреплений в данном случае принята в виде двух горизонтальных связей в четырех нижних точках опоры. Вертикальные реакции отсутствуют, следовательно, условно невесомая конструкция в данной схеме не требует вертикальных опорных связей. Так как распор равен нулю, горизонтальные силы Т воспринимаются только опорными связями, расположенными по направлению действия этих сил, и не вызывают реакций в связях, перпендикулярных этому направлению.
Рис. 5-30. Расчетная схема нижней части опоры под действием вертикальной силы V
Рис. 5-31. Расчетная схема нижней части опоры ‘под действием крутящего момента Мк
При равномерном распределении реакций между опорными точками усилия в поясах и распорках равны нулю, а усилия во всех раскосах одинаковы, как это и следует из формул (5-67), (5-68) и (5-69).
Определение усилий при действии единичных сил X = 1, приложенных к опорным узлам. Определив усилия от нагрузок Р, M, V и Мк в стержнях с условными- характеристиками закрепления, можем перейти к расчету нижней части путем решения статически неопределимой задачи с учетом действительных характеристик закреплений, определяемых упругой податливостью фундаментов. Для этого необходимо знать усилия в стержнях конструкции, вызываемые двумя силами X, приложенными к опорным точкам в плоскости одной грани (рис. 5-32).
где Sx — усилия в стержнях нижней части опоры под действием сил Х=1, определяемые по формулам (5-70) и (5-71); SP — усилия в стержнях нижней части опоры под действием силы Р, определяемые по формулам (5-53) — (5-59); l; F — длина стержня и площадь его поперечного сечения.
По уравнению (5-72) можно определить Δ1 — линейное упругое суммарное перемещение фундаментов двух опорных точек (взаимное сближение или расхождение) под действием горизонтальной силы Х=1. Если фундаменты неподвижны, то Δ1 = 0 и уравнение (5-72) дает величину наибольшего распора при неподвижных точках закрепления ног опоры.
Определив величину X из уравнения (5-72)', по формулам (5-70) и (5-71) находим усилия в гранях от распора, а затем, учитывая знаки, суммарные усилия в стержнях от нагрузки Р и распора X. Аналогично находятся усилия с учетом фактических характеристик закрепления опорных точек при действии на нижнюю часть опоры изгибающей пары М и вертикальной силы V; распор от вертикальной силы распределяется по всем четырем граням.
При действии крутящего момента, как мы видим, распор отсутствует, поэтому фактические усилия определяются сразу по формулам (5-67) — (5-69).
При одновременном действии всех или некоторых из рассмотренных нагрузок результирующие усилия получаются путем сложения частных усилий.
Направления усилий от отдельных нагрузок, соответствующие принятым направлениям этих нагрузок, даны на рис. 5-28, 5-29 и 5-30. Направления усилий при действии сил Т в плоскостях граней показаны на рис. 5-31 только для двух взаимно перпендикулярных граней, усилия в остальных двух гранях являются зеркальными.
Особенностью работы пространственной конструкции является то, что при действии, например поперечной нагрузки в одной из плоскостей симметрии опоры в работу включаются раскосы граней, расположенных в плоскостях перпендикулярных этой нагрузке, что при жестких фундаментах разгружает пояса конструкции по сравнению с конструкцией, рассчитанной способом разложения на плоские фермы. При податливых фундаментах, какими являются, например, сборные железобетонные унифицированные фундаменты, такой разгрузки не происходит и усилия, полученные в поясах методом разложения на плоские фермы, оказываются меньше действительных.
В зарубежной технической литературе граница возможности применения метода расчета пространственных стержневых конструкций определяется углом наклона грани к вертикали, тангенс которого равен 0,23. При применении конструкций сборных фундаментов эту границу следует сдвинуть до угла наклона, тангенс которого не более 0,15.
