ГЛАВА СЕДЬМАЯ
ИСКАНИЯ ЛУЧШИХ РЕШЕНИЙ
Из далекой древности до наших дней дошел класс своеобразных математических задач. Многие из них приписываются Герону, александрийскому ученому 1-го столетия нашей эры. Такими задачами занимались и в средние века. И в наши дни эти задачи разрабатываются математиками и изучаются в школах. Вот одна из типичных.
7-1. Самый большой ящик
Дан квадратный лист жести. Из него надо сделать ящик, открытый сверху. Для этого в листе вырезаются по углам равные квадраты, а затем края листа загибаются так, чтобы образовать боковые стенки.
Рис. 7-1. Ящик из квадратного листа жести, в котором сделаны квадратные же вырезы.
Получившийся ящик может иметь разные пропорции, можно сделать низкие, а можно — и высокие боковые стенки.
Требуется построить такой ящик, чтобы объем его был наибольшим. Объем ящика — это произведение высоты его боковой стенки на площадь основания. Если вырезать по краям данного листа маленькие квадраты и, следовательно, оставить большую площадь основания, то высота боковой стенки будет мала и ящик будет иметь малый объем (рис. 7-1). Если же, наоборот, сделать большую высоту ящика, то останется малая площадь основания и объем будет также мал.
Существует некоторая определенная высота боковой стенки, которую можно назвать оптимальной высотой, наилучшей высотой (наилучшей для данной задачи). При этой оптимальной высоте ящик имеет наибольший объем. Эта высота равна одной шестой от стороны данного квадратного листа.
А вот другая задача в том же духе.
7-2. Гонец с корабля
На некотором расстоянии от берега стоит на якоре судно. Чтобы внести численную определенность в задачу, примем расстояние от корабля до ближайшей точки берега 9 км.
Рис. 7-2. Путь гонца с корабля по воде и по берегу в лагерь.
На расстоянии 15 км от этой точки берега (также на берегу) находится лагерь. С корабля в лагерь посылается гонец. Пешком по суше этот гонец может делать по 6 км в час, а на веслах в шлюпке — по 4 км в час. Надо послать гонца по такому маршруту, чтобы он совершил свой путь в кратчайшее время. Требуется найти точку берега, куда должен пристать гонец (рис. 7-2).
При данных соотношениях скоростей это место находится в трех километрах от лагеря.
Подобных задач, где требуется найти некоторое наивыгоднейшее оптимальное решение, существует множество.
7-3. Экстремальное значение функции
Можно иллюстрировать обе эти задачи — и с ящиком и с гонцом — простыми графиками. По горизонтальной оси графика будем откладывать ту величину, которую можно изменять по произволу, — независимую переменную: то ли высоту боковой стенки ящика, то ли расстояние от лагеря до места причаливания гонца. По вертикальной оси откладывают искомую величину — функцию нашей независимой переменной — объем ящика или время странствования гонца. Получаются некоторые кривые. Одни из них имеют максимум (рис. 7-3), другие имеют минимум. Точки максимума и минимума — это особые точки кривых, в них кривая совершает поворот: от подъема она идет на спуск или со спуска переходит на подъем.
Рис. 7-3. Зависимость объема ящика от высоты его боковой стенки.
Математики называют эти точки экстремальными точками. И поэтому все задачи вышеприведенного типа называются задачами на максимум и минимум, или экстремальными задачами. Один из приемов решения таких задач — это отыскание экстремальных точек, особых точек на кривых.
7-4. Инженерные примеры
В повседневной жизни постоянно возникают проблемы наибольшего и наименьшего, наилучшего и наихудшего. Экстремальные задачи имеют большое практическое значение.
Как построить ферму моста, чтобы она при наименьшем весе имела наибольшую прочность?
Как распределить металл в колонне, чтобы она была наиболее устойчивой?
Как проложить сеть дорог между несколькими населенными пунктами, чтобы эта сеть дорог обладала минимальной общей длиной?
Множество задач из области планирования производства относятся к типу задач на экстремум. Имеется, скажем, несколько станков разной производительности. Как распределить между этими станками работу, чтобы получить наибольшее количество всей продукции?
В главе, посвященной центральным электростанциям, было рассказано о шаровой мельнице. Чем мельче угольная пыль, тем лучше она сгорает в топке, тем меньше потерь с несгоревшим топливом. Но для получения более мелкой пыли надо затратить больше электроэнергии на вращение мельницы. Выходит, что невыгоден как слишком грубый, так и слишком мелкий помол (при нем возрастают еще расходы на износ мельниц и уменьшается их производительность). Существует оптимальный режим работы шаровых мельниц.
Можно утилизировать тепло, содержащееся в отходящих из котла дымовых газах, можно утилизировать тепло отработавшего пара из турбины. Но всюду есть свой оптимум, свой разумный предел. Иногда может оказаться, что приспособления для утилизации стоят дороже, чем возможная экономия энергии. Нельзя жечь десятирублевую бумажку, чтобы при свете ее пламени отыскивать затерявшийся гривенник.
Иногда задачи на оптимум решаются элементарными приемами, но часто представляют огромные математические трудности.
7-5. Исследования Чебышева
«Большая часть вопросов практики приводится к задачам наибольших и наименьших величин, совершенно новым для науки, и только решением этих задач мы можем удовлетворить требованиям практики, которая везде ищет самого лучшего, самого выгодного».
Так писал почти сто лет тому назад знаменитый математик академик Пафнутий Львович Чебышев. Множество своих научных работ он посвятил вопросу: «как располагать средствами своими для достижения по возможности большей выгоды?». Методы Чебышева стали образцом для последующих искателей оптимума.
Чебышев писал исследования «О зубчатых колесах», «О кройке платьев», «О построении географических карт». В последней работе он задается целью определить такую проекцию карты данной страны, для которой искажение масштаба было бы наименьшим. На численном примере карты Европейской России
Чебышев показал, что наивыгоднейшая проекция будет давать искажения масштаба не более 2%, тогда как принятые в то время проекции давали искажения не менее 4—5%.
7-5. Наилучшая линия электропередачи
Первые опыты электрической передачи достаточно большой мощности были сделаны в России. В 1874 г. военный инженер Пироцкий устроил электропередачу 6 л. с. на расстояние свыше 1 км. В 1882 г. французский ученый и изобретатель Марсель Депре устроил электропередачу из Мисбаха в Мюнхен. Промышленные дальние электропередачи были созданы М. О. Доливо-Добровольским.
Между генераторами на центральных электростанциях и потребителями электроэнергии находится длинная цепь разнообразных электротехнических устройств. Несколько раз трансформируется напряжение на пути от генератора к потребителю. Оно сначала повышается, а затем в несколько приемов понижается. Для каждой величины мощности, для каждого расстояния передав существуют свои оптимальные значения напряжения. От данных трансформаторов зависит стоимость их и потери энергии на трансформацию, и здесь есть свой оптимум.
Чтобы с наименьшей затратой сил и средств производить передачу электроэнергии, надо применять оптимальные изоляторы, оптимальные кабели, оптимальные генераторы.
Теоретический анализ технических и экономических вопросов электропередачи был впервые проведен в 70-х годах прошлого века петербургским физиком Д. А. Лачиновым. Анализом наивыгоднейших условий передачи электроэнергии занимался много и М. О. Доливо-Добровольский.
Самая старая и самая известная из экстремальных электротехнических задач и, пожалуй, вместе с тем и самая важная и типичная из них — это задача о наивыгоднейшей линии передачи электрической энергии.
Предположим сначала, что заданы мощность и ток, которые требуется передать от электростанции. Линию же передачи от электростанции к потребителям можно строить по-разному.
Требуется спроектировать самую выгодную линию.
Можно сделать проводники линии электропередачи тонкими, затратить в этой линии мало меди или алюминия. Такая линия передачи будет дешевой. Но зато ее электросопротивление высоко. В линии из тонких проводников потери энергии при передаче будут велики.
Рис. 7-4. Суммарные расходы на передачу электроэнергии в зависимости от количества металла, затрачиваемого на проводники.
Если же, наоборот, щедро расходовать в линии алюминий или медь и сделать проводники толстыми, то потери электроэнергии будут малы, но зато проводники линии обойдутся дорого.
Какая же линия электропередачи будет самой выгодной для заданной силы тока?
Каждая линия электропередачи рассчитывается на эксплуатацию в течение определенного срока, скажем, пятнадцать—двадцать лет. Следовательно, на каждый год работы линии должна приходиться определенная доля (скажем, одна пятнадцатая, одна двадцатая) от полной стоимости линии. Эти расходы — их называют расходы на амортизацию — не зависят от того, какой силы ток циркулирует в линии, какая мощность через нее передается. Даже если эта линия стоит вовсе без тока, без нагрузки, то она все равно подвергается некоторому износу и проценты на ее амортизацию все равно должны начисляться. Для линий электропередач у нас в Союзе ежегодные отчисления на амортизацию принимаются обычно равными 6% от полной стоимости линии.
Полные расходы на передачу электроэнергии складываются из двух частей: из стоимости потерянной в линии электроэнергии и стоимости амортизации самой линии.
Стоимость амортизации растет прямо пропорционально весу проводников линии, потери же электроэнергии падают обратно пропорционально весу проводников.
Наименьшие суммарные расходы получаются, когда стоимость амортизации будет равна стоимости теряемой энергии.
Нет смысла делать слишком толстые проводники в линии. Наши проектные организации считают, что выгодно добавлять в линию металл при условии, что каждый его килограмм может сэкономить в год больше 20 κвт-ч электроэнергии. Если экономия получится меньшая, то в линию передачи не следует добавлять металл.
7-7. Экономичная плотность тока
Можно иначе сформулировать задачу о самой выгодной электропередаче. Предположим, что линия передачи задана, сечение ее проводников известно, а требуется найти силу тока, которую выгоднее всего пропускать по этой линии.
Чем больше сила тока, тем выше полная передаваемая по линии мощность и тем меньшая доля расходов на амортизацию линии падает на каждый передаваемый киловатт-час. Но зато чем больший ток проходит по линии, тем больше стоимость теряемой энергии.
И вновь решение задачи на оптимум дает уже известный ответ: выгоднее всего эксплуатировать линию, когда расходы на амортизацию равны стоимости потерь.
Плотность тока, соответствующая этому требованию, и будет самой экономичной плотностью тока. Для наших условий, для линий передач, нагруженных равномерно в течение круглого года, принято считать эту оптимальную плотность тока равной примерно 2 а на каждый квадратный миллиметр сечения медного проводника линии.
И более высокие, и более низкие плотности тока невыгодны.
Рис. 7-5. Плотности тока для проводника сечением 95 мм2.
7-8. Математические формулировки
Обозначим сечение проводника линии передачи через х. Стоимость амортизации линии возрастает, а электрические потери уменьшаются с увеличением сечения. Поэтому можно записать, что суммарные расходы на передачу электроэнергии равны:
где А и В — коэффициенты, пропорциональные стоимости 1 т проводникового материала и 1 кВт-ч, электроэнергии.
Когда
, то суммарные расходы будут наименьшими, равными
. Падающая и растущая с сечением составляющие расходов в точности равны одна другой.
Но могут быть и другие виды зависимости потерь от сечения проводника. Стоимость линии может расти не
При этом сечении полная стоимость передачи будет наименьшая, а возрастающий и падающий члены в этой полной стоимости будут относиться как
Для сетей высокочастотного транспорта, например, выгодно, чтобы расход на амортизацию проводников был в 2 раза меньше стоимости потерь электроэнергии.
7-9. Наивыгоднейшее напряжение
Напряжение в линии электропередачи можно выбирать независимо от силы тока в линии.
Чем выше напряжение в линии, тем при заданном токе больше передаваемая мощность. Но с ростом напряжения увеличивается стоимость изоляции линии. При воздушной линии надо с повышением напряжения подвешивать провода к более длинным гирляндам изоляторов, делать более высокие и более мощные опоры. Приходится также увеличивать диаметр самих проводов, чтобы уменьшить напряженность электрического поля у их поверхности и тем предотвратить чрезмерные потери на корону. Высоковольтные проводники иногда делаются полыми. Для уменьшения потерь на корону часто применяется расщепление проводников. А два проводника получаются всегда дороже одного.
В кабельной линии передачи необходимо с повышением напряжения делать толще слой изоляции между токонесущим проводником и внешней заземленной защитной оболочкой.
С повышением напряжения возрастает также и стоимость подстанций на концах линий передач. Поэтому для передачи на короткие расстояния выгодно применять низкие напряжения. А чем больше расстояние передачи, тем более выгодным становится высокое напряжение.
Еще в конце прошлого века, в первые десятилетия развития промышленной электротехники сложилось правило, вернее, даже не правило, а поговорка: «киловольт на километр». Напряжение линии в киловольтах должно соответствовать ее длине в километрах. Но это именно только поговорка, а не закон. Надо сказать, что величина наиболее выгодного напряжения зависит не только от расстояния передачи, но и от самой величины передаваемой мощности. Чем больше мощность, тем крупнее размеры установки и тем более высокое напряжение гармонирует с этими размерами.
Большинство городских кабельных сетей работает при напряжении 6 000 в. Применяется и 10 000 в. Районные линии передачи выполняются при напряжении 35 000 в. Много у нас в Союзе линий при напряжении 110 и 220 тыс. в. Такими линиями выгодно передавать электроэнергию на расстояния до 300—400 км. В последнее время советские электрики впервые в мире применили для передач переменным током 500 000 в, а для постоянного тока еще более высокие напряжения. Такими линиями можно передавать электроэнергию на расстояния в тысячу и более километров.
При передаче электроэнергии токами высокой частоты дело обстоит сложнее. Электрическое поле между проводниками линии вызывает потери в окружающей среде. Если проводники находятся вблизи земли, то в земле под влиянием быстропеременного напряжения на проводниках возникают вредные токи. Потери на эти токи растут как квадрат напряжения в линии передачи.
При чрезмерном повышении напряжения передача становится неэкономичной.
В тяговых сетях высокочастотного транспорта можно применять напряжения не выше 5 000 в. При более высоком напряжении к. п. д. бесконтактной передачи энергии падает.
